Kurt Gödel und der Zauber des blinden Flecks

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        Bedürfnis nach Erkennen!
        Suche zu ergründen alles,
        was um dich herum ist,
        gehe bis an die äußersten Grenzen
        des menschlichen Wissens,
        und immer stößt du zuletzt auf etwas Unergründliches
        und dies Unergründliche heißt: Leben

        Albert Schweitzer




        Wir waren auf dem Weg zum Bauernhof, wo wir fast jeden Tag unsere Milch holen. Meine sechsjährige Tochter, die es kaum erwarten kann, diesen Herbst in die Schule zu kommen, sagte unvermittelt: "Komisch, dass ich durch meine kleinen Augen so eine grosse Welt sehen kann! Und da ist doch meine Nase zwischen den Augen. Und ich sehe trotzdem kaum meine Nase und nur ein Bild und nicht zwei. Wie geht das?"

        In der Schule wird sie lernen, dass ihr Gehirn die Informationen aus zwei Sehnerven in komplexen neuronalen Schaltkreisen zu einem einzigen Bild zusammenfügt. Sie wird erfahren, dass ihr Gehirn nach einem blitzschnellen Abgleich mit früheren Erfahrungen, die mit Lust- und Unlustempfindungen getränkt sind, eine subjektive "gefühlte" Wirklichkeit zimmert, diese aber meist als objektive Wirklichkeit deuten wird. Im Biologieunterricht wird sie lernen, dass wir in jedem Auge einen blinden Fleck haben, der dort ist, wo der Sehnerv durch unsere Netzhaut tritt, um die Informationen ins Innere des Gehirns weiterzuleiten. Und sie wird vermutlich auch anhand von einfachen Experimenten wie dem folgenden sich selbst überzeugen können, wie geschickt ihr Gehirn diese blinden Flecken übertüncht, so dass wir gar nicht merken, dass wir einen blinden Fleck in unserer visuellen Wahrnehmung der Welt haben.

        Das folgende Experiment haben Sie sicherlich schon mal in ähnlicher Form durchgeführt:

        Experiment "blinder Fleck":



        Halten Sie Ihr linkes Auge geschlossen, während Sie mit dem rechten Auge den "Knopf" fokussieren, in dem "Fokus" geschrieben steht. Dann variieren Sie die Entfernung, bis der rechte Knopf mit der Aufschrift "blinder Fleck" verschwindet. Das ist die Entfernung, bei der der Knopf mit der Aufschrift "Blinder Fleck" genau auf die Stelle der Netzhaut projiziert wird, wo der Sehnerv liegt und deshalb nichts wahrgenommen werden kann. Sie sehen jetzt jedoch keinesfalls ein schwarzes Loch, sondern der blinde Fleck wird ausgefüllt mit der Farbe und den Mustern der Umgebung - ein nützlicher Trick unseres Gehirns um schwarze Löcher in unserem Wahrnehmungsfeld zu vermeiden - und uns für unseren blinden Fleck blind zu machen. Es ist also eine doppelte Blindheit: Wir sehen an diesem Punkt nichts UND wir wissen nicht, dass wir an diesem Punkt nichts sehen. Übrigens können Sie in der Entfernung, da der "Knopf" mit der Aufschrift "blinder Fleck" im oberen Bild verschwindet, jetzt das rechte Auge öffnen, das linke schließen und den Knopf "blinder Fleck" fokussieren. Jetzt sollte der "Fokus"-Knopf mit dem selben Effekt verschwinden.

        Ich hoffe, meine Tochter wird beim Lernen all dieser interessanten Dinge nicht ihr Staunen verlieren, mit dem sie auf dem Weg zum Bauern ausruft: "Komisch, dass ich durch meine kleinen Augen so eine grosse Welt sehen kann!" Denn wer nicht mehr zu staunen vermag, ruht sich vermutlich auf lieb gewonnenen Bildern und Vorstellungen der Welt und seiner Mitmenschen aus, (hinter-) fragt nicht mehr und wird Gefangener seiner eigenen Vorstellungen.

        Das Phänomen des blinden Flecks beschränkt sich nicht auf unsere visuelle Wahrnehmung. Es ist ein grundsätzliches Phänomen, das auch unser Erkennen und Verstehen der Welt "und was sie im Innersten zusammenhält" betrifft. Der blinde Fleck taucht unvermeidlich auch in unserer Wirklichkeitsauffassung auf - egal, mit welchen Inhalten sie gestrickt ist. Dass dies so ist, hat bereits im vorigen Jahrhundert ein Mensch bewiesen, der als einer der einflussreichsten Mathematiker des letzten Jahrhunderts gilt: Kurt Gödel[1]. Jetzt könnte man leichtfertig und ein wenig polemisch sagen: nun ja, was soll ich mich mit dem theoretischen Auswurf solcher abgehobener Kopfmenschen befassen, der doch keinerlei Bedeutung für meinen Alltag hat?" Muss man natürlich nicht, - aber wenn man will, kann es einem jenes Staunen bescheren, das meiner Tochter so ein wunderschönes Leuchten in ihre Augen zaubert.

        Auf Kurt Gödel bin ich vor etwa fünfzehn Jahren durch das Buch "Gödel, Escher, Bach"[2] von Douglas Hofstadter, einem amerikanischen Professor im Bereich der Computer- und Kognitionswissenschaft, aufmerksam geworden. Obwohl sein erstes Buch "Gödel, Escher, Bach" trotz seines anspruchsvollen Inhalts in den achtziger Jahren ein Weltbestseller wurde, ist D. Hofstadter nach nun mehr fast dreißig Jahren enttäuscht darüber, dass eine zentrale Aussage seines damaligen Buches offensichtlich nicht verstanden wurde. Vielleicht, weil sie zu verrückt ist - zumindest gemessen an unserem derzeitigen naiven Selbstverständnis -, vermutlich, weil sie zu sehr an den Grundfesten unserer Wirklichkeitskonstruktion rüttelt und uns somit den Boden unter unserem Verstand wegzuziehen droht.

        In früheren Zeiten haben sich unsere Vorfahren wohl ähnlich bedroht gefühlt, als man sie mit Fakten vertraut machte, die bewiesen, dass die Erde keine Scheibe und schon gar nicht das Zentrum der Welt ist, sondern nur als ein kleiner Planet einen Stern umkreist, der wiederum nur einer unter Milliarden Sonnen in einer Galaxie ist, die wiederum nur eine von Milliarden Galaxien in der schier unfassbaren Weite des Universums ist - oder ist es gar ein Multiversum?





        In diesem Essay stelle ich nun eine von zwei wesentlichen Kernaussagen seines neuesten Buches vor[3] (es ist die leicht verdaulichere der beiden Aussagen):

        Jede mentale Landkarte bzw. jedes Erklärungsmodell hat mindestens einen blinden Fleck und ist deshalb unvollständig. Kein Erklärungsmodell der Welt kann alles erklären. Es ist blind für bestimmte Aspekte, die darum aber nicht weniger wahr sind, als die Fakten, die im Rahmen des gewählten Erklärungsmodells erklärt werden können. Dieser blinde Fleck ist durch nichts zu beseitigen. Sprich: Ungeachtet dessen, wie viel Mühe wir uns machen, die Welt umfassend und vollständig zu erklären - es bleibt immer eine Zone des nicht Begreifbaren, das die Landkarte nicht zu erfassen vermag. Diesen unumstößlichen Beweis hat Kurt Gödel geliefert. Und weil er gleichzeitig bewies, dass der Anspruch auf hundertprozentige Vollständigkeit und gleichzeitige Widerspruchsfreiheit eines jeden symbolischen Repräsentationssystems wie der Mathematik nicht erfüllbar ist, brachte Kurt Gödel zu seiner Zeit die Zunft der Mathematiker ziemlich aus dem Häuschen.


        Ich würde Kurt Gödel und sein Jahrhundertwerk hier nicht erwähnen, wenn ich nicht eine unmittelbare Bedeutung für unser alltägliches Wirklichkeitsverständnis und unseren Umgang mit Erklärungsmodellen sehen würde, die wir tagtäglich hunderte Male anwenden, um das was uns widerfährt, zu erklären - zum Beispiel unser Verhalten und das unserer geliebten und weniger geliebten Mitmenschen. Nichts gegen Erklärungsmodelle per se - ich will nur ihren Anspruch auf Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit in Frage stellen und im folgenden nachvollziehbar machen, warum keines unserer Erklärungsmodelle wasserdicht ist und auch gar nicht sein kann.

        Der Mensch hat verschiedene Sprachen - also symbolische Repräsentationssysteme - erfunden, um seine Erfahrungen zu bündeln, zu benennen, zu verstehen und zu kommunizieren. Die Sprache der Mathematik ist eine sehr hoch entwickelte formale Sprache und ermöglicht dem Menschen, "entdeckte" Naturgesetze präzise zu formulieren und entsprechend Berechnungen vorzunehmen. So kann der Mensch die Naturkräfte für seine lauteren und unlauteren Zwecke nutzen - zum Beispiel um den Mond zu besuchen oder Atombomben, Computer und Autos zu bauen. Das Bestreben, die Welt symbolisch zu erfassen, kann grenzenlos sein und in den Wunsch münden, die Welt als Ganzes zu erfassen. Die Suche nach der Weltformel der Physiker ist ein Beispiel dafür.

        Getrieben von solch einer Sehnsucht machte sich Anfang des letzten Jahrhunderts Bertram Russell und Alfred Whitehead daran, für die Mathematik ein solides Fundament zu schaffen. Sie hatten die Hoffnung, ein formales Repräsentationssystem zu entwickeln, mit dem sich jede denkbare wahre Aussage als wahr beweisen und jede denkbare falsche Aussage als falsch eindeutig entlarven lässt. Sie träumten von einem vollständigen und zugleich widerspruchsfreien System.

        Und dann kam Gödel, ein junger österreichischer Mathematiker, und bewies mit einem Geniestreich, dass genau dieses System, das Russell und Whitehead geschaffen hatten, zwar vieles wunderbar darstellen konnte, aber nicht ALLE Wahrheit als Wahrheit abbilden konnte! Er legte der staunenden Fachwelt eine Arbeit vor, in der er eine Aussage bewies, die heute als Gödels Unvollständigkeitssatz berühmt ist:


        Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.


        Was dieser wunderbar theoretisch klingende Satz konkret bedeutet, kann zum Beispiel mit folgendem Paradoxon veranschaulicht werden:

        Der Barbier des Dorfes rasiert all denjenigen Männer, und nur denjenigen den Bart, die sich nicht selbst den Bart rasieren. Frage: rasiert sich der Barbier selbst?

        Wenn wir auf Vollständigkeit beharren, müssen wir den Barbier grundsätzlich ebenfalls zu der Gruppe der Männer zählen. Hierdurch entsteht das Paradoxon, also der Widerspruch:

        Ab jetzt kann sich der Barbier verhalten wie er will, die Aussage bleibt widersprüchlich: Denn wenn der Barbier sich selbst nicht rasiert, gehört er zu der Gruppe der Männer, die sich nicht selbst rasieren. Da er der Barbier ist, rasiert er aber entsprechend der obigen Aussage genau alle diese Männer. Da er auch zu dieser Gruppe gehört, müsste er sich auch rasieren. Dummerweise rasiert er sich dann aber selbst. Also verstößt er gegen die Regel, denn nun ist er ein Mann, der sich selbst rasiert.

        Der andere Fall führt genauso zu einem Widerspruch: Wenn der Barbier sich selbst rasiert, gehört er zur Gruppe jener Männer, die sich selbst rasieren. Diese werden aber laut der oben formulierten Aussage nicht vom Barbier rasiert. Also verstößt er schon wieder gegen die Regel.

        Mit anderen Worten: Er kann?s nur falsch machen[4].

        Wenn wir jedoch auf Widerspruchsfreiheit bestehen, müssen wir den Barbier aus der Gruppe der Männer ausschließen: Dann ist unsere Aussage zwar nicht mehr logisch widersprüchlich, aber leider nun unvollständig, da der Barbier, der auch ein Mann ist, nicht mehr berücksichtigt wird.

        Dem aufmerksamen Leser wird nicht entgangen sein, dass das ganze Problem erst durch die Rückbezüglichkeit entsteht, also da, wo der Barbier sich selbst mit seinem Rasiermesser zuwenden muss.

        Mein Gott, könnte man nun ausrufen - haben die Theoretiker in ihren Elfenbeintürmen nichts besseres zu tun, als sich im Zeitalter der Elektrorasierer einen Barbier auszudenken, der sich mit seinem Rasiermesser in Widersprüchlichkeiten verstrickt?

        Nun ja, der Barbier ist nur Nebensache. Er ist nur ein Beispiel zur Veranschaulichung.

        Der Punkt ist: Wann immer wir dieser Rückbezüglichkeit begegnen, tut sich vermutlich entweder ein blinder Fleck (Unvollständigkeit!) oder ein Abgrund an Widersprüchlichkeit auf. Egal, ob wir der Barbier sind oder behaupten, uns selbst ganz zu kennen und deshalb niemanden mehr brauchen, der die Frechheit hat, uns auf einen blinden Fleck hinzuweisen. Zur Erinnerung: die Rückbezüglichkeit entsteht mit dem Anspruch auf Vollständigkeit[5]. Salopp formuliert: Wenn die Brille behauptet, alles sehen zu können, behauptet sie auch, sich selbst sehen zu können. Da habe ich meine Zweifel.

        Die hatte Kurt Gödel auch, als er das Werk von Russell und Whitehead in die Finger bekam, in dem sie behaupteten, ein System geschaffen zu haben, das ALLES erfassen kann.

        "Also gut" mag er gesagt haben. Wenn Du alles erfassen kannst, dann auch dich selbst und schritt zur Tat.

        Kurt Gödel wendete das von Russell und Whitehead erschaffene System auf sich selbst an. Das heißt, er stellte Rückbezüglichkeit her ähnlich dem Spiegel im Spiegel und konnte eindeutig zeigen, dass man auf diese Weise zu einer Aussage kommen konnte, die von außen betrachtet eindeutig wahr ist, jedoch innerhalb des Systems nicht entscheidbar, also weder als wahr noch als falsch "wahrnehmbar" war.

        Dies lag jedoch nicht daran, dass das System von Russell und Whitehead etwa fehlerhaft entwickelt worden war. Keineswegs. Gödel konnte zeigen, dass kein noch so sorgsam ausgefeiltes System in der Lage ist, ALLES zu beschreiben. Mit anderen Worten, seit Gödel ist bewiesen, dass kein symbolisches System in der Lage ist, die Welt in ihrer Gesamtheit zu erfassen. Es bleibt immer irgendwo ein Blinder Fleck ähnlich dem, den wir in unserer Netzhaut an der Stelle haben, an der der Sehnerv ins Auge mündet. Eine Brille kann in noch so viele Richtungen schauen, es bleibt ein toter Winkel in der Welt, der nicht ausgeleuchtet werden kann.

        Dies war ein ziemlicher Schlag für die damalige Fachwelt der Mathematik, hatte man doch bis dahin gehofft, eines Tages mit einem vollständigen und widerspruchsfreien Theoriegebäude aufwarten zu können. Den Beweis für die grundsätzliche Unvollständigkeit einer jeden Theorie haben wir dem Geniestreich des inzwischen legendären österreichischen Mathematikers Kurt Gödel, der als der bedeutendste Logiker des 20. Jahrhunderts gilt, zu verdanken[6].

        Meine Tochter ist noch nicht alt genug, um verstehen zu können, wie es Kurt Gödel gelungen ist, die Grenzen menschlicher Erklärungsmodelle aufzuzeigen. Aber sie ist noch jung genug, ihr zutiefst menschliches Staunen unvermittelt zu empfinden und es kund zu tun. Das ist für mich auch viel wichtiger und so hoffe ich, dass sie es niemals verlieren wird. Denn wenn ich mir die Menschen anschaue, die kein Leuchten mehr in ihren Augen haben, dann finde ich darunter auch jene, die glauben, begriffen zu haben, wie die Welt funktioniert und deshalb nicht mehr mit frischem Blick wie neu geboren aus ihren kleinen Augen in die weite Welt hinausschauen.

        Ich habe diesem Essay den Titel "Kurt Gödel und der Zauber des blinden Flecks" gegeben, weil Kurt Gödel uns mit seinem Lebenswerk gezeigt hat, dass der unvermeidliche blinde Fleck eines jeglichen Erklärungsmodells das Tor zum nicht erfassten, nicht kartografierten und nicht kontrollierten Zauber unserer Welt ist. Ihr Zauber offenbart sich uns nur dann, wenn wir in die blinden Flecken unserer mentalen Landkarten eintauchen und wie Albert Schweitzer bereit sind zu erfahren, dass gerade im Unergründlichen das Leben auf uns wartet.

        Im Kuhstall angekommen, füllen wir unsere Milch ab und schauen noch zu, wie sich eine vollautomatische Melkmaschine wie von Zauberhand geleitet an den Euter einer Kuh herantastet. Entgegen meiner bisherigen Vorstellung traben die Kühe sogar freiwillig und ohne menschliches Zutun von der Weide zum Melkroboter. Ich habe es kaum glauben können, als meine Tochter mir davon nach ihrem ersten Besuch beim Bauern begeistert erzählte.



        Ingo Heyn

        August 2008

        P.S.:
        Frank Wunderlich hat mir inzwischen auf diesen Brief geantwortet und mir seine Predigt mit dem Titel "STAUNE" geschickt, die mir so gefallen hat, dass ich sie hier mit seinem Einverständnis zur Verfügung stelle:
        Staunpsalm .



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         Fussnoten 

        1. Kurt Friedrich Gödel (geboren am 28. April 1906 in Brünn (damals Österreich-Ungarn), gestorben am 14. Januar 1978 in Princeton, New Jersey). Er war Mathematiker und einer der bedeutendsten Logiker des 20. Jahrhunderts. (siehe auch: Wikipedia: Kurt Gödel )

        2. Douglas Hofstadter, "Gödel, Escher, Bach", Klett-Cotta


        3. Douglas Hofstadter, "Ich bin eine seltsame Schleife", Klett-Cotta

        4. Wenn Kinder in solch eine Lage geraten, in der sie sich eigentlich nur noch falsch verhalten können, und ihnen gleichzeitig auch noch verboten wird, über den erlebten Widerspruch zu sprechen, laufen sie Gefahr, psychisch krank zu werden, da sie aufgrund ihrer starken Abhängigkeit von ihren Bezugspersonen sich diesen widersprüchlichen Botschaften nicht entziehen können. Sie sind in eine Falle geraten, die von Gregory Bateson erforscht wurde und als "Double Bind" bezeichnet hat: Egal wie ich?s mach , ich mach?s falsch, darf aber nicht darüber reden und auch nicht die Beziehung verlassen. Solch ein "Double Bind" ist eine Kommunikationsfalle, die im schlimmsten Fall einen psychotischen Schub auslösen kann und im besten Fall nicht glücklich macht

        5. Die Grafiken, die ich in diesem Essay verwendet habe, sind für mich übrigens ein Beispiel dafür, dass Rückbezüglichkeit auch eine seltsame Schönheit hervorbringen kann. Wer sich dafür mehr interessiert, findet eine sehr gute und anschauliche Erläuterung der mathematischen Grundlagen unter http://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge. Erstellt habe ich die Grafiken mit dem Programm Ultra Fractal 5.0

        6. Wer Interesse hat, den Beweis von Gödel im Detail nachzuvollziehen, dem empfehle ich die hervorragende Erläuterung in dem Buch "ich bin eine seltsame Schleife" von D. Hofstadter, Kapitel 10.




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